ダービン・ワトソン比

Equation
\varepsilon_{t}=\rho\varepsilon _{t-1}+u_{t}\varepsilon_{t}:重回帰モデルの残差系列

\varepsilon_{t}=y_{t}-\hat{y}_{t}\;(t=1,2,\cdots,N)y:実測値、\hat{y}:回帰によるy推定値

DW =\frac{\sum^{n}_{t=2}(\varepsilon_{t}-\varepsilon_{t-1})^{2}}{\sum^{n}_{t=1}\varepsilon^{2}_{t}}DW:ダービン・ワトソン比

\hat{\rho} =\frac{\sum^{n}_{t=2}\varepsilon_{t}\varepsilon_{t-1}}{\sum^{n}_{t=2}\varepsilon^{2}_{t-1}}\hat{\rho}:\rhoの推定値

\hat{\rho}が0から大きく離れていれば残差系列には「1階の従属構造、規則性あり、系列相関あり」、とする。

DW\simeq2(1-\hat{\rho})
故に、
※ダービン・ワトソン比が
・2前後の時:\hat{\rho}は0に近く、残差系列に系列相関なし。
・2より十分に小さい(0に近い)時:\hat{\rho}は1に近く、残差系列に正の系列相関あり。
・2より十分に大きい(4に近い)時:\hat{\rho}は-1に近く、残差系列に負の系列相関あり。

R
サンプル:2010年1月から2014年1月の月次日経平均株価終値と月次S&P500インデックス
201001nikkeimonthly201001sp500monthly

> library(tseries)
> library(urca)
> library(lmtest)

> nikkei <- ts(dataset$nikkei, start=c(2010,1),frequency=12)
> sp500 <- ts(dataset$sp500, start=c(2010,1),frequency=12)

> plot(nikkei,main="NikkeiCloseMonthly")
> plot(sp500,main="S&P500Monthly")

> adf.test(nikkei)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  nikkei
Dickey-Fuller = -1.6447, Lag order = 3, p-value = 0.7164
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(diff(nikkei))

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  diff(nikkei)
Dickey-Fuller = -3.75, Lag order = 3, p-value = 0.03056
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(sp500)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  sp500
Dickey-Fuller = -2.1392, Lag order = 3, p-value = 0.5185
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(diff(sp500))

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  diff(sp500)
Dickey-Fuller = -3.8287, Lag order = 3, p-value = 0.02456
alternative hypothesis: stationary

> co_integ <- ca.po(dataset[1:2],demean="const")
> summary(co_integ)

######################################## 
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test # 
######################################## 

Test of type Pu 
detrending of series with constant only 


Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1])

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2430.0  -758.0   170.4   812.1  2255.7 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -915.7189  1159.9576  -0.789    0.434    
z[, -1]        8.4631     0.8391  10.086 2.43e-13 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1205 on 47 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.684,     Adjusted R-squared:  0.6773 
F-statistic: 101.7 on 1 and 47 DF,  p-value: 2.428e-13


Value of test-statistic is: 7.8397 

Critical values of Pu are:
                  10pct   5pct    1pct
critical values 27.8536 33.713 48.0021

> dwtest(nikkei~sp500)

        Durbin-Watson test

data:  nikkei ~ sp500
DW = 0.2031, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

参考文献
森村英典[他](1984).『統計・OR活用事典』.東京書籍.485pp.
久松博之(1997).『単位根の推定と検定』.信山社.177pp.
豊田利久[他](2010).『基本統計学(第3版)』.東洋経済新報社.261pp.
Critical Values for the Durbin-Watson Test http://www.stanford.edu/~clint/bench/dwcrit.htm

アプリケーション
R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
URL http://www.R-project.org/.