標本自己共分散

Equation
Cov(y_{t},y_{t-j})=E[(y_{t}-\bar{y})(y_{t-j}-\bar{y})]=\frac{1}{n}\sum^{n}_{t=j+1}(y_{t}-\bar{y})(y_{t-j}-\bar{y})
Cov(y_{t},y_{t-j}):j次の自己共分散

定常とは平均、分散および自己共分散が時間に依存しないこと。
E(y_{t})=u, Var(y_{t})=E[(y_{t}-\bar{y})^{2}]=\phi(0), Cov(y_{t},y_{t-j})=\phi(j)

弱定常とは平均と自己共分散が時間に依存しないこと。さらにE(y_{t})=0,Cov(y_{t},y_{t-j})=0\;(j\geq 1)である時系列をホワイトノイズという。

時間的トレンド、確率的トレンド(例 単位根モデル)、構造変化等がある場合、その系列は定常性が充たされない。

R
サンプル:2011年2月から2014年2月までの米ドルの対ユーロ月次レート
usdeurmonthlycovusdeurmonthly

> library(tseries)
> tsusdeur <- ts(dataset$usdeur,start=c(2011,2),frequency=12)
> adf.test(tsusdeur)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  tsusdeur
Dickey-Fuller = -1.2465, Lag order = 3, p-value = 0.867
alternative hypothesis: stationary

> mean(tsusdeur)
[1] 1.337132

> var(tsusdeur)
[1] 0.003019767

> result <- acf(dataset$usdeur,type="covariance")
> result

Autocovariances of series ‘dataset$usdeur’, by lag

        0         1         2         3         4         5         6 
 2.94e-03  2.62e-03  2.23e-03  1.75e-03  1.38e-03  8.73e-04  5.38e-04 
        7         8         9        10        11        12        13 
 2.10e-04 -2.16e-05 -3.00e-04 -4.51e-04 -6.97e-04 -9.29e-04 -1.16e-03 
       14        15 
-1.25e-03 -1.28e-03

参考文献
豊田利久[他](2010).『基本統計学(第3版)』.東洋経済新報社.261pp.
講義ノート 6 定常時系列解析 http://www.kier.kyoto-u.ac.jp/~nishiyama/2013/jugyochukei6re.pdf

アプリケーション
R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
URL http://www.R-project.org/.