中心極限定理

Equation
\bar X_{n}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{t=1}X_{t}
※母集団の平均u、分散\sigma^{2}.

Z_{n}=(\bar X_{n}-u)/\sqrt{ \sigma^{2}/n}=\sqrt{n}(\bar X_{n}-u)/\sigma
とすると、nが十分に大きい場合、Z_{n}の分布は正規分布N(0,1)に近づく。

P\left \{ Z_{n}\leq a \right \}\rightarrow \int_{- \infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}dx
※但し確率変数は互いに独立であることが必要。なお成り立たない分布(例 コーシー分布)もある。

R
clt_normclt_uniformclt_gammaclt_comp

> clt <- function(n){
+ x <- rep(0,10000)
+ for (i in 1:10000){
+ x[i] <- mean(rnorm(n))
+ }
+ par(mfrow=c(3,1)) 
+ plot(x,main="norm.mean")
+ hist(x,main="norm.mean")
+ qqnorm(x)
+ qqline(x)
+ return (var(x))
+ }
> clt(10000)
[1] 0.000100096

> clt <- function(n){
+ x <- rep(0,10000)
+ for (i in 1:10000){
+ x[i] <- mean(runif(n,min=-10,max=10))
+ }
+ par(mfrow=c(3,1)) 
+ plot(x,main="unifom.mean")
+ hist(x,main="uniform.mean")
+ qqnorm(x)
+ qqline(x)
+ return (var(x))
+ }
> clt(10000)
[1] 0.003311442
 
> clt <- function(n){
+ x <- rep(0,10000)
+ for (i in 1:10000){
+ x[i] <- mean(rgamma(n,shape=2))
+ }
+ par(mfrow=c(3,1)) 
+ plot(x,main="gamma.mean")
+ hist(x,main="gamma.mean")
+ qqnorm(x)
+ qqline(x)
+ return (var(x))
+ }
> clt(10000)
[1] 0.0001952638
 
> clt <- function(n){
+ x <- rep(0,10000)
+ for (i in 1:10000){
+ x[i] <- mean(rgamma(n,shape=2)*runif(n,min=-10,max=10)+rlogis(n))
+ }
+ par(mfrow=c(3,1)) 
+ plot(x,main="gamma*unirom+logistic.mean")
+ hist(x,main="gamma*unirom+logistic.mean")
+ qqnorm(x)
+ qqline(x)
+ return (var(x))
+ }
> clt(10000)
[1] 0.02060458

参考文献
森村英典[他](1984).『統計・OR活用事典』.東京書籍.485pp.
大崎秀一,吉川大介(2013).『ファイナンスのためのRプログラミング』.共立出版.179pp.
URL http://www.rcnp.osaka-u.ac.jp/~okamura/saitama-u/work/exp-phys/note-03.pdf

アプリケーション
R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
URL http://www.R-project.org/.