ランダム・ウォーク

Equation
X_{t}=X_{t-1}+\varepsilon _{t},\;\varepsilon_{t}\sim iid(0,\sigma^{2})
iid:independently and identically distributed
iid(0,\sigma^{2}):期待値0、分散\sigma^{2}の同一の分布に従い、かつ独立である。
NID(0,1):期待値0、分散1の分布。normally and independently distributed.

X_{1}=X_{0}+\varepsilon_{1}
X_{2}=X_{1}+\varepsilon_{2}=X_{0}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}
\vdots
X_{t}=X_{0}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\cdots+\varepsilon_{t}

よって

E(X_{t})=X_{0}

var(X_{t})=var(X_{0}+\sum^{t}_{i=1}\varepsilon_{i})=\sum^{t}_{i=1}var(\varepsilon_{i})=t\sigma^{2}

cov(X_{s},X_{t})\\=E\{(X_{s}-X_{0})(X_{t}-X_{0})\}\\=E\{(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\cdots+\varepsilon_{s})(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\cdots+\varepsilon_{s}+\cdots+\varepsilon_{t})\}\\=E(\varepsilon^{2}_{1}+\varepsilon^{2}_{2}+\cdots+\varepsilon^{2}_{s})\\=s\sigma^{2}=(t-k)\sigma^{2},k=t-s

従ってランダム・ウォークは、
時間tと独立:期待値。
時間tと非独立:分散および共分散。

故に、ランダム・ウォークは弱定常過程ではなく、非定常。

R
サンプル:ランダム・ウォークである可能性がADF検定では否定できない2004年2月から2014年2月までのダウジョーンズ工業平均インデックス月次平均データ
\Delta X_{t}=\varepsilon_{t}が自己相関する場合、ランダム・ウォークとはならない。
dowjones

> library(tseries)
> plot(ts(dataset$dow,start=c(2004,2),frequency=12),ylab="Index",main="Dow Jones Industrial Average")
> adf.test(dataset$dow)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  dataset$dow
Dickey-Fuller = -1.8713, Lag order = 4, p-value = 0.63
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(diff(dataset$dow))

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  diff(dataset$dow)
Dickey-Fuller = -3.5442, Lag order = 4, p-value = 0.04129
alternative hypothesis: stationary

参考文献
蓑谷千凰彦(2001).『金融データの統計分析』.東洋経済新報社.292pp.

アプリケーション
R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
URL http://www.R-project.org/.