収益率/Rate of Return

Equation
Y_{t}=\frac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}},\;\{Y_{t}\}の標準偏差がボラティリティ.

※対数変換による収益率の近似
\ln{X_{t}}-\ln{X_{t-1}}=\ln\frac{X_{t}}{X_{t-1}}=\ln\frac{X_{t}-X_{t-1}+X_{t-1}}{X_{t-1}}=\ln{(1+\frac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}})}

e^{x}のマクローリン展開.
e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots

\frac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}(Y_{t})が非常に小さい場合、2次以上を無視すると\ln(1+Y_{t})\approx Y_{t}

よって
\ln{X_{t}}-\ln{X_{t-1}}\approx Y_{t}

R
サンプルデータ:2013年3月26日から2014年3月26日までのS&P500株価指数
sp500sp500rrsp500acfsp500pacfsp500rrhistsp500rracfsp500rrpacf

> library(tseries)

> sp500 <- dataset$sp500

> summary(sp500)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
   1542    1643    1697    1717    1801    1878 

> plot(sp500,main="S&P500.2013/3/26-2014/3/26",xlab="DateNo.",ylab="Index",type="l")

> sp500.r <- diff(sp500)/sp500[-length(sp500)]

> summary(sp500.r)
      Min.    1st Qu.     Median       Mean    3rd Qu.       Max. 
-0.0250100 -0.0036900  0.0008261  0.0006987  0.0052360  0.0218300 

> plot(sp500.r,main="S&P500.Rate of Return.2013/3/26-2014/3/26",xlab="DateNo.",ylab="Rate of Return",type="l")

> sd(sp500.r)
[1] 0.007219109

> adf.test(sp500)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  sp500
Dickey-Fuller = -3.5554, Lag order = 6, p-value = 0.03793
alternative hypothesis: stationary

> adf.test(sp500.r)

        Augmented Dickey-Fuller Test

data:  sp500.r
Dickey-Fuller = -5.7996, Lag order = 6, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary

 警告メッセージ: 
In adf.test(sp500.r) : p-value smaller than printed p-value

> t.test(sp500.r)

        One Sample t-test

data:  sp500.r
t = 1.5365, df = 251, p-value = 0.1257
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.0001969138  0.0015943541
sample estimates:
   mean of x 
0.0006987202 

> acf(sp500)

> pacf(sp500)

> hist(sp500.r)

> acf(sp500.r)

> pacf(sp500.r)

> jarque.bera.test(sp500.r)

        Jarque Bera Test

data:  sp500.r
X-squared = 19.3699, df = 2, p-value = 6.221e-05



> Box.test(sp500.r,lag=30,type="Ljung")

        Box-Ljung test

data:  sp500.r
X-squared = 19.8375, df = 30, p-value = 0.9207

> 

参考文献
熊谷悦生、舟尾暢男(2008).『Rで学ぶデータマイニング Ⅱシミュレーション編』.オーム社.248pp.
URL http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

アプリケーション

R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing.
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.
URL http://www.R-project.org/.